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Université Mohammed V - Agdal

Le travail de recherche présenté dans ce mémoire de thése traite des aspects de la théorie des algébres de Lie et leurs classifications. Il s'articule essentiellement sur deux volets principaux. Un premier volet concernant l'état des lieux des algébres de Kac- Moody (KM) et leurs représentations. Ces structures de dimensions infinies constituent un champ de recherche en plein essor. La plupart des résultats obtenus pour le secteur indéfini sont des résultats partiels. Dans ce volet, nous donnons les outils nécessaires et théorèmes fondamentaux des structures des algèbres de Lie semi simples, leurs extensions KM et les généralisations type Borcherds. En utilisant ce formalisme, nous avons contribué à compléter des résultats partiels dans cette matière par la construction explicite du syst ème de racines et du groupe de Weyl de la sous classe constituée des algèbres hyperboliques Lorentziennes. Armés par l'étude approfondie des caractérisations des algèbres KM, nous avons développé dans le second volet des réalisations de ces structures en mathématique physique ; en particulier en théorie quantique des champs (super CFT4) et théorie des super- cordes type II compactifiées sur des variétés de Calabi-Yau à trois dimensions complexes (CY3) avec une fibration K3. Nous avons montré, entre autres, l'existence de trois classes principales de théories de champs super conformes à quatre dimensions et conjecturé la correspondance tripartite entre les trois secteurs: algèbres KM, les trois types des super CFT4 et les singularités des CY3.