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Analyse d’erreur a posteriori pour des approximations non conformes des équations aux dérivées partielles

par Majdoubi, Adil Publié par : Université Mohammed V (Rabat) Détails physiques : 95 pages Année : 2017
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PH.D Université Mohammed V 2017

Dans cette thèse nous nous intéressons à l’analyse d’erreur a posteriori, en loi de comporte- ment, des approximations par éléments finis non conformes d’une classe d’équations aux dérivées partielles elliptiques. Le travail présenté consiste à établir des estimateurs d’erreur a posteriori pour des problèmes de Réaction-Diffusion et de Stokes. La réalisation de ces indicateurs d’erreur repose sur une discrétisation des problèmes d’équations aux dérivées partielles considérées par éléments finis de type Crouzeix-Raviart. Nous considérons en premier un problème de Réaction-Diffusion bidimensionnel dont la matrice de diffusion est diagonale à coefficients constants positifs. Le coefficient de réaction est une constante positive. Nous construisons un estimateur a posteriori, avec une constante multiplicative inconnue, qui évalue l’erreur en loi de comportement. Ensuite, nous nous plaçons dans un cadre général, en considérant un problème de Réaction-Diffusion avec des données non nécessairement constantes par morceaux. Nous construisons un estimateur, basé sur des flux équilibrés. Nous calculons explicitement les constantes apparaissant dans les bornes inférieures et supérieures. Nous montrons ainsi que cet estimateur est robuste. Les résultats théoriques sont validés numériquement. A près, nous étudions une discrétisation en éléments finis non conformes stabilisés par projection pour le problème de stokes. Nous présentons une analyse optimale d’erreur a priori de l’élément Crouzeix-Raviart pour une norme appropriée. Nous donnons un estimateur d’erreur a posteriori basé sur le recouvrement avec une borne supérieure globale et une borne inférieure locale, qui évalue l’erreur en loi de comportement. Nous présentons des résultats numériques pour illustrer les performances de l’estimateur considéré. Enfin, nous comparons le type d’estimateur présenté dans cette thèse avec des estimateurs basés sur la résolution des problèmes locaux et des estimateurs résiduels à travers des expériences numériques sur des solutions particulières présentant des singularités typiques.

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